Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a₂=-1時(shí)，求λ及a₃的值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；
（Ⅲ）求λ的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n＞m時(shí)總有a_n＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知當(dāng)a₂=-1時(shí)，得-1=2-λ，故λ=3．從而求出a₃．
（Ⅱ）由題意知若存在λ，使{a_n}為等差數(shù)列，則有a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．這與{a_n}為等差數(shù)列矛盾．所以，對(duì)任意λ，{a_n}都不可能是等差數(shù)列．
（Ⅲ）記b_n=n²+n-λ（n=1，2，），n₀=2k（k=1，2，），則λ滿足

b2k=(2k)2+2k-λ＞0 b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ＜0

．由此可求出故λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，），且a₁=1．
所以當(dāng)a₂=-1時(shí)，得-1=2-λ，故λ=3．
從而a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}不可能為等差數(shù)列，證明如下：由a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n
得a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{a_n}為等差數(shù)列，則a₃-a₂=a₂-a₁，即（5-λ）（2-λ）=1-λ，
解得λ=3．于是a₂-a₁=1-λ=-2，a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
這與{a_n}為等差數(shù)列矛盾．所以，對(duì)任意λ，{a_n}都不可能是等差數(shù)列．
（Ⅲ）記b_n=n²+n-λ（n=1，2，），根據(jù)題意可知，b₁＜0且b_n≠0，即λ＞2
且λ≠n²+n（n∈N^*），這時(shí)總存在n₀∈N^*，滿足：當(dāng)n≥n₀時(shí)，b_n＞0；
當(dāng)n≤n₀-1時(shí)，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數(shù)，
則an0＜0，從而當(dāng)n＞n₀時(shí)，a_n＜0；若n₀為奇數(shù)，則an0＞0，
從而當(dāng)n＞n₀時(shí)a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當(dāng)n＞m時(shí)總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n₀為偶數(shù)，
記n₀=2k（k=1，2，），則λ滿足

b2k=(2k)2+2k-λ＞0 b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ＜0

．
故λ的取值范圍是4k²-2k＜λ＜4k²+2k（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．