Question

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　�。�

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函數(shù)．由題中的不等式可得F（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間（0，+∞）上F（x）也是增函數(shù)．最后分x＞0和x＜0加以討論，并結(jié)合F（1）=F（-1）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答：解：令F（x）=f（x）g（x），可得
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴F（x）=f（x）g（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
又∵當(dāng)x＜0時F'（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，可得它在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)．
∵g（1）=0可得F（1）=0，∴結(jié)合F（x）是奇函數(shù)可得F（-1）=0，
當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（1），結(jié)合單調(diào)性得0＜x＜1；
當(dāng)x＜0時，F(xiàn)（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（-1），結(jié)合單調(diào)性得x＜-1．
因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故選：B

點(diǎn)評：本題給出函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的奇偶性和單調(diào)性，求不等式f（x）g（x）＜0的解集．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．