Question

已知向量

a

+3

b

垂直于向量7

a

-5

b

，向量

a

-4

b

垂直于向量7

a

-2

b

，求向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：由題意可得，

( a +3 b )•(7 a -5 . b )=0 ( a -4 b )•(7 a -2 . b )=0

展開整理可得，2

a

•

b

=

b

2，代入可得 

a

2=

b

2，代入可得cosα，結(jié)合0°≤α≤180°可得

a

與

b

的夾角為60°，由正弦定理可得

sinB+sinC

b+c

=

sinA

a

∴sinB+sinC=2sinA；結(jié)合余弦定理及基本不等式可求．

解答：解：由題意可得，

( a +3 b )•(7 a -5 . b )=0 ( a -4 b )•(7 a -2 . b )=0

，
即

7 a 2+16 a • b -15 b 2=0 7 a 2-30 a • b +8 b 2=0

 整理可得，2

a

•

b

=

b

²，代入可得 

a

2=

b

²
∴cosα=

a • b

| a |•| b |

=

1 2 | b |2

| b |2

=

1

2

∵0°≤α≤180°  所以

a

與

b

的夾角為60⁰．
∵

sinB

b

=

sinC

c

=

sinA

a

∴

sinB+sinC

b+c

=

sinA

a

∴sinB+sinC=2sinA
且cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

300-2bc

2bc

=

300

2bc

-1=

150

bc

-1
又bc≤(

b+c

2

)2=100∴cosA≥

3

2

-1=

1

2

又0＜A＜π∴0＜A≤

π

3

∴sinB+sinC≤

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積得性質(zhì)得應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．