Question

已知橢圓G的中心是原點O，對稱軸是坐標軸，拋物線的焦點是G的一個焦點，且離心率．
（I）求橢圓G的方程；
（II）已知圓M的方程是x²+y²=R²（1＜R＜2），設(shè)直線l與圓M和橢圓G都相切，且切點分別為A，B．求當R為何值時，|AB|取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意可設(shè)橢圓G的方程，利用拋物線的焦點是G的一個焦點，且離心率，求得幾何量，即可求橢圓G的方程；
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與圓、橢圓相切，確定參數(shù)之間的關(guān)系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．
解答：解：（I）依題意可設(shè)橢圓G的方程為，則
因為拋物線的焦點坐標為，所以，
又因為，所以，所以，
故橢圓G的方程為．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l：y=kx+m，即kx-y+m=0
∵直線l和圓M相切，∴，即m²=R²（k²+1）①
聯(lián)立方程組消去y整理可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直線l和橢圓G相切，∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，即m²=4k²+1②
由①②可得
設(shè)點B的坐標為（x，y），則有，，
所以，
所以
等號僅當，即取得
故當時，|AB|取得最大值，最大值為1．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，正確表示|AB|是解題的關(guān)鍵．