Question

已知橢圓C的對稱軸在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)(2

2

，-

1

3

)，(

5

，

2

3

)．設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得方程組，解出即可求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程構(gòu)成方程組，消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得x₀，代入直線方程即可求得y₀．

解答：解：設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由題意得，

m(2 2 )2+n(- 1 3 )2=1 m( 5 )2+n( 2 3 )2=1

，即

8m+ 1 9 n=1 5m+ 4 9 n=1

，解得m=

1

9

，n=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

9

+y2=1．
聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x1+x2=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y₀=x₀+2=

1

5

．
故線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

5

，

1

5

）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解決該類題目的基礎(chǔ)，要熟練掌握．