Question

（2010•石家莊二模）直線y=k（x+1）與曲線y=

1 x-1 ，(x＜1) x-1 ，(x≥1)

的公共點(diǎn)最多時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍為

(0，

2

4

)

．

Answer 1

分析：把直線y=k（x+1）代入曲線y=

x-1

（x≥1），得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，當(dāng)直線y=k（x+1）與曲線y=

x-1

（x≥1）的公共點(diǎn)最多時(shí)，實(shí)數(shù)k滿足

k＞0 △=(2k2-1)2-4k2(k2+1)＞0

，由此能求出k的范圍．

解答：解：由于直線y=k（x+1）恒過(guò)定點(diǎn)（-1，0），結(jié)合函數(shù)的圖象可知，
①當(dāng)k≤0時(shí)，直線y=k（x+1）與y=

x-1

沒(méi)有交點(diǎn)，與y=

1

x-1

最多2個(gè)交點(diǎn)
②當(dāng)k＞0時(shí)，直線y=k（x+1）與已知曲線y=

1 x-1 ，x＜1 x-1 ，x≥1

最多有3個(gè)交點(diǎn)
此時(shí)直線y=k（x+1）單調(diào)遞增，而y=

1

x-1

（x＜1）單調(diào)遞減，y=k（x+1）與y=

1

x-1

只有一個(gè)交點(diǎn)，
則y=k（x+1）與y=

x-1

（x≥1）有2個(gè)交點(diǎn)
把直線y=k（x+1）代入曲線y=

x-1

（x≥1），
整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，在[1，+∞）有2個(gè)根
當(dāng)直線y=k（x+1）與曲線y=

x-1

（x≥1）的公共點(diǎn)最多時(shí)，
實(shí)數(shù)k滿足

k＞0 △=(2k2-1)2-4k2(1+k2)＞0 1-2k2 k2 ＞2

整理，得0＜k2＜

1

8

解得0＜k＜

2

4

．
故答案為：(0，

2

4

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．