Question

已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，并且a₃=5，a₄•S₂=28．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的通項b_n=|a_n-23|（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數(shù)列的等差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把a_n的通項代入到b_n=|a_n-23|中得到b_n的通項公式，討論n的值，化簡絕對值得到b_n的通項公式為分段的，分別根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出之和即可．

解答：解：（Ⅰ）a₄•S₂=（a₃-2d+a₃-d）•（a₃-d）=（10-3d）•（5+d）=28
∴3d²+5d-22=0∴d=2或d=-

11

3

（舍去）
∵a_n＞0∴d＞0．∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2n-6=2n-1．
（Ⅱ）b_n=|a_n-23|=|2n-24|=

(24-2n(n≤12)) (2n-24(n≥13)

①當n≤12時，b_n=24-2n，
∴T_n=

(n(22+24-2n))

2

=23n-n²；
②當n≥13時，∴T_n=22+20++2+0+2+4+…+（2n-24）
=[-22-20--2+0+2+…+（2n-24）]+2（22+20+…+2）
=n²-23n+2•12•11=n²-23n+264
∴T_n=

(23n-n2(n≤12)) ((n2-23n+264)(n≥13)

點評：考查學生靈活運用等差數(shù)列性質(zhì)的能力，會求等差數(shù)列的通項公式，會利用等差數(shù)列的求和公式分情況求數(shù)列的前n項和．