Question

【題目】已知四棱錐的底面是菱形.

（1）若，求證：平面；

（2），分別是，上的點，若平面，，求的值；

（3）若，平面平面，，判斷是否為等腰三角形？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不可能為等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）作輔助線，利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）過作交于，連接，利用平行的傳遞性以及線面平行的性質得出四邊形為平行四邊形，進而得出，結合相似三角形的性質得出的值；

（3）作交于點，連接，由面面垂直，線面垂直的性質定理得出，根據直角三角形斜邊大于直角邊，鈍角三角形鈍角所對的邊大于另外兩邊，得出，，由等腰三角形的性質得出，進而得到，即可得出不可能為等腰三角形.

（1）證明：設，連接

因為四邊形是菱形，所以，.

因為，所以.

因為，平面，所以平面.

（2）過作交于，連接，

在菱形中，，，所以，所以，，，共面.

因為平面，平面，平面平面

所以.

所以四邊形為平行四邊形.所以.

因為，所以.

（3）不可能為等腰三角形，理由如下：

作交于點，連接

因為平面平面，平面平面，平面

所以平面.

所以.

因為，，平面

所以平面

因為平面，所以.

所以，且.

所以.所以.

在菱形中，若，所以是等邊三角形.

所以為的中點，所以，

∴

即.

所以不可能為等腰三角形.