Question

在x軸的正方向上，從左向右依次取點(diǎn)列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限內(nèi)的拋物線上從左向右依次取點(diǎn)列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等邊三角形，其中A是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a_n．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a_n，利用頂點(diǎn)B_n在第n個(gè)等邊三角形的在拋物線上，結(jié)合B_n的縱坐標(biāo)為．建立等式化簡(jiǎn)得，然后再寫一式，兩式相減得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．從而可求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）由已知條件可知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223200003551289/SYS201311012232000035512020_DA/3.png">，再求和利用放縮法求證即可．
解答：解：（1）設(shè)第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a_n．則第n個(gè)等邊三角形的在拋物線上的頂點(diǎn)B_n的坐標(biāo)為，）．
再?gòu)牡趎個(gè)等邊三角形上，我們可得B_n的縱坐標(biāo)為．
從而有，
即有．
由此可得①
以及②
①-②即得．
變形可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0．
由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．
在①式中取n=1，可得，而a₁≠0，故a₁=1．所以a_n=n
（2）由已知條件可知，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223200003551289/SYS201311012232000035512020_DA/14.png">
所以＜＜
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)及放縮法求證不等式，同時(shí)應(yīng)注意裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．