Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=BC=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B⊥C₁M．
（2）求A₁B與CB₁所成角的余弦值．
（3）求點(diǎn)M到平面BNC的距離．

Answer 1

分析：（1）要證C₁M⊥A₁B，可先證C₁M⊥平面AA₁B₁B，只需利用平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M⊥A₁B₁從而利用面面垂直的性質(zhì)可得
（2）利用平行線，可得∠CB₁E為A₁B與CB₁所成角或其補(bǔ)角，解△EB₁C，即可求出異面直線A₁B與B₁ C所成角的余弦值．
（3）設(shè)點(diǎn)M到平面BNC的距離為h，點(diǎn)C到平面A₁B的距離為h₁，利用V_M-NBC=V_C-MNB，轉(zhuǎn)換底面，即可求解．

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁C₁=B₁C₁
∵A₁M=B₁M∴C₁M⊥A₁B₁…..（2分）
又∵在直三棱柱中平面AA₁B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥A₁B…..（4分）
（2）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，連CE、B₁E
∵A₁B₁

∥ .

.

BE，∴A₁B₁EB為平行四邊形，∴A₁B

∥ .

.

B₁E
∴∠CB₁E為A₁B與CB₁所成角或其補(bǔ)角…（6分）
在△EBC中CE²=CB²+BE²-2CB•BEcos∠CBE=1+2-2×1×

2

×（-

2

2

）=5
在△EB₁C中CB₁=

5

，B₁E=A₁B=

6

，cos∠CB₁E=

C B 2 1 +B1E2-CE2

2•CB1•B1E

=

5+6-5

2• 5 • 6

=

30

10

∴A₁B與CB₁所成角的余弦值為

30

10

…．…（8分）
（3）設(shè)點(diǎn)M到平面BNC的距離為h，點(diǎn)C到平面A₁B的距離為h₁
∵V_M-NBC=V_C-MNB，∴

1

3

S_△BNC×h=

1

3

S_△BNM×h₁…．（10分）
∵CC₁∥平面A₁B，∴點(diǎn)C到平面A₁B的距離h₁等于C₁M…．（11分）
∴

1

2

NC×BC×h=[AB×AA₁-

1

2

（A₁M×A₁N+AN×AB+BB₁×B₁M）]×C₁M
∴

1

2

×

2

×1×h=[

2

×2-

1

2

（

2

2

×1+1×

2

+2×

2

2

）]×

2

2

∴點(diǎn)M到平面BNC的距離h=

3 2

4

…..…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為依托，考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，結(jié)合已知中其它條件尋找判斷線面垂直的相關(guān)條件是解答本題的關(guān)鍵．