Question

（2006•重慶二模）已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點(diǎn)，P到面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（　�。�

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：設(shè)正四面體S-ABC的側(cè)面與底面所成角為α，則cosα=

1

3

，sinα=

2 2

3

，設(shè)SP=b，則OP=b，過(guò)P作PE⊥BC，垂足為E，連接OE，則OE⊥BC，所以sin∠O1PE=

2 2

3

，由此能導(dǎo)出

SP

SE

=

b

3b 2 2

=

2 2

3

＜1，由橢圓定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是橢圓．

解答：解：設(shè)正四面體S-ABC的側(cè)面與底面所成角為α，則cosα=

1

3

，
∴sinα=

2 2

3

，
過(guò)P作PE⊥BC，垂足為E，連接OE，則OE⊥BC，
∴sin∠OPE=

2 2

3

，
設(shè)SP=b，在Rt△POE中，PE=

OP

2 2 3

=

3b

2 2

，
∴

SP

SE

=

b

3b 2 2

=

2 2

3

＜1，
由橢圓定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是橢圓．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及立體幾何、余弦定理與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．