Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AD，DD₁的中點(diǎn)，AB=BC=2，A₁A=2

2

（Ⅰ）求證：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在線段BC₁是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接AD₁，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB

∥ .

.

D1C1，則四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，
∴AD₁∥BC₁，
又∵E，F(xiàn)分別是AD，DD₁的中點(diǎn)
∴AD₁∥EF，
∴EF∥BC₁，又EF?面A₁BC₁，BC₁?面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁（3分）
（II）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，則A₁P⊥C₁D．（7分）
因?yàn)锳₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，∴C1Q=

2

又∵PQ∥BC，
∴PQ=

1

2

BC=1．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高D1Q=

6

，
∴A1P=

(2-1)2+6

=

7

．（14分）