Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且acosC+

1

2

c=b，則角A的大小為

60°

；若a=1，則△ABC的周長l的取值范圍為

（2，3]

．

Answer 1

分析：將已知的等式左右兩邊都乘以2變形后，利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，根據(jù)sinC不為0，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；由A的度數(shù)求出sinA的值，及B+C的度數(shù)，用B表示出C，由正弦定理表示出b與c，而三角形ABC的周長l=a+b+c，將表示出的b與c，及a的值代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域，即可得到l的范圍．

解答：解：acosC+

1

2

c=b變形得：2acosC+c=2b，
利用正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，即sinC（2cosA-1）=0，
由sinC≠0，得到cosA=

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，則A=60°；
∵a=1，sinA=

3

2

，B+C=120°，即C=120°-B，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2 3

3

，即b=

2 3

3

sinB，c=

2 3

3

sin（120°-B），
則△ABC的周長l=a+b+c=1+

2 3

3

sinB+

2 3

3

sin（120°-B）
=1+

2 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）
=1+2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=1+2sin（B+30°），
∵0＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（B+30°）≤1，即2＜1+2sin（B+30°）≤3，
則l范圍為（2，3]．
故答案為：60°；（2，3]

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．