Question

已知雙曲線 2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為動(dòng)點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M（-2，0），過(guò)點(diǎn)N（，0）作直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，判斷∠AMB的大小是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為，|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，知點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知在△F₁PF₂中，，故mn≤4，由此知∠F₁PF₂的最小值為．
（Ⅲ）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為，代入解得A．B的坐標(biāo)分別為，，而，故∠AMB=90°，猜測(cè)∠AMB=90°為定值，再由韋達(dá)定理進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為，則|F₁F₂|=2，∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2
可知點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b²=4-1=3則所求橢圓方程為，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；（3分）
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知
在△F₁PF₂中
又∵∴mn≤4，即∴
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)等號(hào)成立．故cos∠F₁PF₂的最小值為（6分）
（Ⅲ）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為，代入解得A．B的坐標(biāo)分別為，，而，∴∠AMB=90°，
猜測(cè)∠AMB=90°為定值．（8分）
證明：設(shè)直線l的方程為，由，
得
∴，（10分）
∴=====0
∴∠AMB=90°為定值．（AB與點(diǎn)M不重合）（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．