Question

已知函數(shù)f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x（a＞1）
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調性；
（2）a當≥3時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點，P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））使得y=f（x）曲線在P、Q處的切線互相平行，求證：x₁+x₂＞

6

5

．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），根據(jù)f′（x）判定f（x）在（0，1）上的單調性；
（2）根據(jù)題意，當a≥3時，切線平行，即導數(shù)相等，得f′（x₁）=f′（x₂），化簡關于a的目標函數(shù)，證出x1+x2＞

6

5

成立．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x（a＞1），定義域為（0+∞），
∴f′（x）=

a+ 1 a

x

-

1

x2

-1=

x2-(a+ 1 a )x+1

x2

=-

(x-a)(x- 1 a )

x2

，
令f′（x）=0，解得x=a或x=

1

a

；
∵a＞1，∴0＜

1

a

＜1，
∴當0＜x＜

1

a

時，f′（x）＜0；
當

1

a

＜x＜1時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，1）上單調遞增．
（2）由題意得，當a≥3時，f′（x₁）=f′（x₂），（其中x₁，x₂＞0且x₁≠x₂），
即

a+ 1 a

x1

-

1

x12

-1=

a+ 1 a

x2

-

1

x22

-1，
∴

(a+ 1 a )(x2-x1)

x1x2

=

(x1+x2)(x2-x1)

x12x22

，
即a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

；
∵x₁，x₂＞0且x₁≠x₂，
∴x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
即

1

x1x2

＞

4

(x1+x2)2

又x1+x2＞0∴a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，
整理得x1+x2＞

4

a+ 1 a

；
令g(a)=

4

a+ 1 a

=

4a

a2+1

則g′(a)=

4(1-a2)

(a2+1)2

＜0，
∴g（a）在[3，+∞）上單調遞減，
∴g（a）在[3，+∞）上的最大值為g(3)=

6

5

，
∴x1+x2＞

6

5

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求曲線的斜率問題，是難題．