Question

曲線C上的點(diǎn)P到定點(diǎn)N（2，0）的距離與到直線x=-2的距離相等．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)E（8，0）的直線交曲線C于兩點(diǎn)A、B，求證：∠AOB=90°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義可得曲線C上的每一點(diǎn)到定點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求
（Ⅱ）設(shè)直線為x=my+8，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求得結(jié)果，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C上的每一點(diǎn)到定點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等，
∴軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線
標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=8x
（II）設(shè)過E（8，0）的直線為x=my+8，代入拋物線得y²-8my-64=0，
設(shè)直線與拋物線交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

(y1y2)2

64

-64=0，即OA⊥OB．
∴∠AOB=90°．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，解題（I）的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用拋物線的定義，還考查的直線與拋物線的相交的問題，常見的處理方法是聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根滿足的關(guān)系．