Question

已知函數(shù)f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3．
（1）用五點(diǎn)法畫出它在一個周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；
（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、對稱軸；
（3）說明此函數(shù)圖象可由y=sinx在[0，2π]上的圖象經(jīng)怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）分別令

x

2

+

π

6

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，并求出對應(yīng)的（x，d（x））點(diǎn)，描點(diǎn)后即可得到函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式中A=3，ω=

1

2

，φ=

π

6

，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求出f（x）的周期、振幅、初相、對稱軸；
（3）根據(jù)正弦型函數(shù)的平移變換，周期變換及振幅變換的法則，根據(jù)函數(shù)的解析式，易得到函數(shù)圖象可由y=sinx在[0，2π]上的圖象經(jīng)怎樣的變換得到的．

解答：解：（1）令

x

2

+

π

6

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，列表如下：

x 2 + π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
f(x)=3sin( x 2 + π 6 )+3	3	6	3	0	3

在一個周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象如下圖所示：

（2）∵函數(shù)f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3中，A=3，B=3，ω=

1

2

，φ=

π

6

．
∴函數(shù)f（x）的周期T=4π，振幅為3，初相為

π

6

，對稱軸直線x=

2π

3

+2kπ，k∈Z
（3）此函數(shù)圖象可由y=sinx在[0，2π]上的圖象：
①向左平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

）的圖象；
②再保持縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍得到y(tǒng)=sin(

x

2

+

π

6

)的圖象；
③再保持橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍得到y(tǒng)=3sin(

x

2

+

π

6

)的圖象；
④再向上科移3個單位，得到f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3的圖象．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，其中正弦型函數(shù)的圖象的畫法，性質(zhì)是三角函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，一定要熟練掌握．