【題目】(2015·四川)已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),評論g(x)的單調(diào)性;
(2)證明:存在a(0,1),使得f(x)≥0,在區(qū)間(1,+
)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在(1,+
)內(nèi)有唯一解.
【答案】
(1)
當(dāng)0<a<時,g(x)在區(qū)間(0,
), (
,+
)上單調(diào)遞增, 在區(qū)間(
,
)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≥
時,在區(qū)間(0,+
)上單調(diào)遞增.
(2)
詳見解析.
【解析】(1)由已知, 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+), g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+
), 所以 g'(x)=2-
+
=
, 當(dāng)0<a<
時,g(x)在區(qū)間(0,
), (
,+
)上單調(diào)遞增, 在區(qū)間(
,
)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≥
時,在區(qū)間(0,+
)上單調(diào)遞增. (2)由f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+
)=0, 解得a=
, 令
(x)=-2(x+
)lnx+x2-2(
)x-2(
)2+
, 則
(1)=1>0,
(e)=-
-2
<0, 故存在x0
(1,e), 使得
(x0)=0, 令a0=
, u(x)=x-1-lnx(x≥1), 由u'(x)=1-
≥0知, 函數(shù)u(x)在區(qū)間(1, +
)上單調(diào)遞增。所以0=
, 即a
(0,1), 當(dāng)a=a0時, 有f'(x0)=0, f(x0)=
(x0)=0, 由(1)知, 函數(shù)f'(x)在區(qū)間(1,+
)上單調(diào)遞增., 故當(dāng)x
(1,x0)時, 有f'(x0)<0, 從而f(x)> f(x0)=0, 當(dāng)x
(x0, +
)時, 有f'(x0)>0, 從而f(x)> f(x0)=0, 所以, 當(dāng)x
(1,+
)時, f(x)≥0。 綜上所述,存在a
(0,1),使得f(x)≥0,在區(qū)間(1,+
)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在(1,+
)內(nèi)有唯一解.
本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合,化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.本題作為壓軸題,難度系數(shù)應(yīng)在0.3以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容,在中學(xué)要求學(xué)生掌握其基礎(chǔ)知識,在高考題中也必有體現(xiàn).一般地,只要掌握了課本知識,是完全可以解決第(1)題的,所以對難度最大的最后一個題,任何人都不能完全放棄,這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個重要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合,聯(lián)系圖形大膽猜想. 在本題中,結(jié)合待證結(jié)論,可以想象出
f(x)的大致圖象,要使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在(1,+
)內(nèi)有唯一解,則這個解x0應(yīng)為極小值點(diǎn),且極小值為0,當(dāng)x
(1,x0)時,f(x)的圖象遞減; 當(dāng)x
(1,+
)時,f(x)的圖象單調(diào)遞增,順著這個思想,便可找到解決方法.
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,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1 , C2分別交于點(diǎn)A,B(均異于原點(diǎn)O)
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(2)當(dāng) 時,求|OA|2+|OB|2的取值范圍.
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如圖AB是⊙O直徑,AC是⊙O切線,BC交⊙O與點(diǎn)E.
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(1)求C的大小
(2)若AB=1,AC=,求p的值
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.
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<
(
)n.
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【題目】(2015·湖南)已知拋物線C1:x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2:(a>b>0)的一個焦點(diǎn),C1與C2的公共弦長為2
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與
同向.
(1)求C2的方程
(2)若|AC|=|BD|,求直線l的斜率
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的值.
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