Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為平面上一動(dòng)點(diǎn)，到直線的距離為，.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）不過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),再兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線距離公式將條件用坐標(biāo)表示,化簡整理成橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）涉及弦中點(diǎn)問題,一般利用點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系,本題由于弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率已知,所以可得弦所在直線斜率 .根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式可得三角形底邊長（用直線在 軸上截距表示），再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得高（用直線在 軸上截距表示），利用三角形面積公式可得面積關(guān)于直線在 軸上截距的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最值，確定直線在 軸上截距，可得直線方程.

試題解析：解：（Ⅰ）由題意：，

又，即，

化簡整理得：

所求曲線的方程為.

（Ⅱ）易得直線的方程：,設(shè).其中

∵在橢圓上，

，所以，

∴設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立：.整理得.

∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且不過原點(diǎn)，

∴，解得：且

由韋達(dá)定理:

∴

.

∵點(diǎn)到直線的距離為：.

∴.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，滿足（*）式

所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.