Question

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作直線l垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，且

OP

⊥

OQ

，記點(diǎn)P的軌跡為C₁，
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且

OB

=

PA

(

OB

≠0)，試判斷直線PB與曲線C₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）已知圓C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交點(diǎn)處的切線相互垂直，求a的值．

Answer 1

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（x，-2），
∵

OP

⊥

OQ

∴

OP

•

OQ

=0…（2分）
∴x²-2y=0，
當(dāng)x=0時(shí)，P、O、Q三點(diǎn)共線，不符合題意，故x≠0．
∴曲線C的方程為x²=2y（x≠0）．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵

OB

=

PA

∴

OB

=(0，-y0)
∵

OB

≠0∴直線PB的斜率k=

2y0

x0

…（5分）
∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直線PB的方程為y=x₀x-y₀…（6分）
代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0
∴直線PB與曲線C₁相切．…（7分）
（3）不妨設(shè)C₁、C₂的一個(gè)交點(diǎn)為N（x₁，y₁），C₁的方程為y=

1

2

x2
則在C₁上N點(diǎn)處切線的斜率為y′=x₁．C₂上過(guò)N點(diǎn)的半徑的斜率為k=

y1-a

x1

x1=

y1-a

x1

，
又y1=

1

2

x12，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）
∵N（x₁，y₁）在圓C₂上，∴-2a+4a²=2，∴a=-

1

2

或a=1
∵y₁＞0∴a＜0，∴a=-

1

2

…（12分）