Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求得切線方程為；（2），設(shè)，通過求導(dǎo)，分類討論，得到

的取值范圍為．

試題解析：

（1）依題意， ， ，

故，而，故所求方程為，

即．

（2），

依題意，當(dāng)時(shí)， ，

即當(dāng)時(shí)， ；

設(shè)，則，

設(shè)，則．

①當(dāng)時(shí)，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

∴在上單調(diào)遞增，

又∵，∴當(dāng)時(shí)， ，從而當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

從而當(dāng)時(shí)， ，即，

于是當(dāng)時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)，令，得，∴，

故當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，

又∵，∴當(dāng)時(shí)， ，

從而當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，又∵，

從而當(dāng)時(shí)， ，即，

于是當(dāng)時(shí)， ，不符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．