Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，AB=BC=2，AA1=2

2

．
（1）求證：BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）求直線A₁B與平面A₁AC成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知BC⊥AB，BC⊥BB₁，由此能夠證明BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明直線A₁B與平面A₁AC成角的正弦值．

解答：解：（1）∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，
∴BC⊥AB，BC⊥BB₁，
又∵AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，AB=BC=2，AA1=2

2

，
∴A1(2，0，2

2

)，B（2，2，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
∴

AA1

=（0，0，2

2

），

AC

=（-2，2，0），

A1B

=（0，2，-2

2

）
設(shè)平面A₁AC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

AA1

=0，

n

•

AC

=0，
∴

2 2 z=0 -2x+2y=0

，解得

n

=（1，1，0），
設(shè)直線A₁B與平面A₁AC成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

A1B

＞|=|

0+2+0

2 • 12

|=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．