Question

（2012•威海一模）數(shù)列{a_n}中，已知對任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　　）

• A．（3ⁿ-1）²
• B．

  1

  2

  (9n-1)
• C．9ⁿ-1
• D．

  1

  4

  (3n-1)

Answer 1

分析：由a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，可求得a_n，從而可知an2，利用等比數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=3ⁿ⁺¹-1，②
②-①得：a_n+1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=2×3^n-1．
當(dāng)n=1時，a₁=3¹-1=2，符合上式，
∴a_n=2×3^n-1．
∴an2=4×9^n-1，
∴a12=4，

an+12

an2

=9，
∴{an2}是以4為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

4×(1-9n)

1-9

=

1

2

（9ⁿ-1）．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的確定及等比數(shù)列的判斷與求和公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．