Question

（本題滿分14分）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

 （Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是

（Ⅲ）。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的值，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，和函數(shù)與方程的關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）由于是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).，則說明在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零，得到參數(shù)a的值。

（2）然后利用第一問的結(jié)論，得到導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，求解單調(diào)區(qū)間。

（3）分離函數(shù)的思想，研究?jī)蓚�(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程解的問題的運(yùn)用。

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415461943511784/SYS201208241546566739769806_DA.files/image008.png">

        所以

        因此

 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    

    

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以的單調(diào)增區(qū)間是

的單調(diào)減區(qū)間是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，

所以的極大值為，極小值為

因此

   

所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

因此，的取值范圍為。