Question

如圖，半圓O的半徑為，AB為直徑，C為的中點(diǎn)，D為的三分之一分點(diǎn)，且的長等于兩倍的長．連AD并延長交半圓O以C為切點(diǎn)的切線于E，則AE=________．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，AE存在于三角形ACE中，可根據(jù)題設(shè)條件求出此三角形的三個(gè)角，又三角形中的一個(gè)邊AC可以求出，由此，可以利用正弦定理求出線段AE的長度．
解答：由題設(shè)，AB為直徑，C為的中點(diǎn)，D為的三分之一分點(diǎn)，且的長等于兩倍的長．
知：∠ACB=90°，∠CAD=∠CAE=15°，
又連AD并延長交半圓O以C為切點(diǎn)的切線于E，CE是切線，
所以∠ECB=∠CAB=45°，由此知∠ACE=135°
所以∠CEA=30°
在RT△ACB中，可以解得AC=
由正弦定理知
解得AE=
故答案為：
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是與圓有關(guān)的比例線段，由于圓本身的特征，對與其有關(guān)的成比例線段的考查是考試的一個(gè)熱點(diǎn)，所用的知識(shí)有同弧反對的圓周角相等，圓周角等于圓心角的一半，以及切割線定理等，做題時(shí)要根據(jù)這些特征靈活選取，組合出做題的思路．本題中根據(jù)這些知識(shí)把問題歸結(jié)到一個(gè)三角形中來研究，給利用解三角形的相關(guān)知識(shí)解決問題帶來了方便．