Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

（1）求a、b的值；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，根據(jù)f（1）=2，f(2)=

5

2

，代入構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組可得a、b的值；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，代入判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

∴

f(1)=a+b=2 f(2)=2a+ b 2 = 5 2

，
解得

a=1 b=1

（2）設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂

f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 -x2- 1 x2 =x1-x2+ x2-x1 x1x2 =(x1-x2)(1- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式，是解答的關(guān)鍵．