Question

（本題滿分16分）

如圖，公園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a的正三角形ABC空地，擬改建成花園，并在其中建一直道DE

方便花園管理. 設(shè)D、E分別在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面積.

（1）設(shè)AD=x（），DE=y，試將y表示為x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望其最短，DE的位置應(yīng)在哪里？

     若DE是參觀路線，希望其最長(zhǎng)，DE的位置應(yīng)在哪里？

Answer 1

【解】（1）因?yàn)?i>DE均分三角形ABC的面積，

所以，即.      …………………………2分

在△ADE中，由余弦定理得

.                 …………………………4分

因?yàn)?img width=145 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/452/107452.gif" >，所以 解得.

故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.        …………………………6分

（2）令，則，且.

設(shè).                                …………………………8分

若，則

所以在上是減函數(shù). 同理可得在上是增函數(shù). ………………11分

于是當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)DE//BC，且 ……………………13分

當(dāng)或即x=a或2a時(shí)，，此時(shí)DE為AB或AC上的中線. …………15分

故當(dāng)取且DE//BC時(shí)，DE最短；當(dāng)D與B重合且E為AC中點(diǎn)，或E與C重合且D為AB中點(diǎn)時(shí)，DE最長(zhǎng).                                         …………………………16分

（注：若由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”號(hào). 只得到最小值，給4分）