Question

（本題滿分14分）
已知函數(shù)，點(diǎn)．
（Ⅰ）若，函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，求的取值范圍；
（Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，函數(shù)在和處取得極值，且，是坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線與直線不可能垂直.

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
令得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可以得出函數(shù)在處取得極大值，
在處取得極小值．函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，
則只要且即可，即只要即可．
所以的取值范圍是．                                    ………… 4分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
也即在對任意的恒成立．                  
令，則．        ………… 6分
記，則，
則這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，
故也是最小值點(diǎn)，所以，
從而，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．
函數(shù)．故只要即可．
所以的取值范圍是                             ………… 9分
（Ⅲ）假設(shè)，即，
即，
故，
即．
由于是方程的兩個(gè)根，
故．代入上式得．   ………… 12分
，
即，與矛盾，
所以直線與直線不可能垂直．                           ………… 14分

解析