Question

已知

m

=(2cosx，

3

)，

n

=(sinx，cos2x)，記函數(shù)f(x)=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，即可求f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

m

=(2cosx，

3

)，

n

=(sinx，cos2x)，
∴f(x)=

m

•

n

=2sinxcosx+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（3分）
∴f（x）的最小正周期為π…（5分）
由-2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)（開區(qū)間也正確）…（7分）
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]…（9分）
∴sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴f（x）的值域?yàn)閇1，2]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．