Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D為AC的中點．
（1）求證：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證B₁A∥面BDC₁，欲證根據直線與平面平行的判定定理可知只需證B₁A與面BDC₁內一直線平行即可，連接B₁C，交BC₁于點O，根據中位線可知OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁，滿足定理所需條件；
（2）以點C為坐標原點，CC₁為x軸，CA為y軸，CB為z軸，建立空間直角坐標系，求出向量

C1D

和向量

C1B

，設平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）可求出

n

，而平面BDC的法向量為

CC1

，根據向量的夾角公式可求出二面角C₁-BD-C的余弦值．

解答：（1）證明：連接B₁C，交BC₁于點O，
則O為B₁C的中點，
∵D為AC中點，
∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁（4分）

（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，
則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如圖建系，則C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴

C1D

=（-3，1，0），

C1B

=（-3，0，2）
設平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）
則n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量為

CC1

=（3，0，0）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜

CC1

，n＞=

CC1 ，n

| CC1 |，|n|

=

2

7

點評：本題主要直線與平面平行的判定，以及利用空間向量的知識求二面角．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．