Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的射影恰好落在AB的中點(diǎn)O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）若PO=BC，求直線PD與AB所成的角；
（3）若平面APB與平面PCD所成的角為60°，求

PO

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，求出向量

AC

，

PD

的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式，驗(yàn)證其數(shù)量積與0的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量

AB

，

PD

的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可求出直線PD與AB所成的角；
（3）求出平面APB與平面PCD的法向量，根據(jù)平面APB與平面PCD所成的角為60°，構(gòu)造關(guān)于h的方程，解方程即可得到

PO

BC

的值．

解答：解：因?yàn)锳B中點(diǎn)O為點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz（如圖）．
（1）設(shè)BC=a，OP=h則依題意得：B（a，0，0），A（-a，0，0），
P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴

AC

=（2a，a，0），

PD

=（-a，2a，-h），（4分）
于是

AC

•

PD

=-2a²+2a²=0，∴PD⊥AC；
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），（5分）
∵

AB

=（2a，0，0），

PD

=（-a，2a，-a），
∴

AB

•

PD

=-2a²，cos＜

AB

，

PD

＞=

-2a2

2a• 6 a

=

- 6

6

，
∴直線PD與AB所成的角的余弦值為

6

6

；
（3）設(shè)平面PAB的法向量為m，可得m=（0，1，0），
設(shè)平面PCD的法向量為n=（x，y，z），由

PC

=（a，a，-h），

PD

=（-a，2a，-h），
∴

ax+ay-hz=0 -ax+2ay-hz=0

，解得n=（1，2，

3a

h

），∴m•n=2，
cos＜m，n＞=

2

5+ 9a2 h2

，
∵二面角為60°，∴

5+ 9a2 h2

=4，
解得

h

a

=

3 11

11

，即

PO

BC

=

3 11

11

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量，將線面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．