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          （ 10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．
          


          （I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；
          


          （II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
          


          若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          解：由條件知，，設(shè)，．
          


          解法一：（I）設(shè)，則，，
          


          ，由得
          


          即 
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
          


          當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．
          


          又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052207465443759002/SYS201205220749032031986338_DA.files/image017.png">兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得
          


          ，即．
          


          將代入上式，化簡(jiǎn)得．
          


          當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．
          


          所以點(diǎn)的軌跡方程是．
          


          （II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
          


          當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．
          


          代入有．
          


          則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，
          


          于是
          


          


          


          ．
          


          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052207465443759002/SYS201205220749032031986338_DA.files/image025.png">是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．
          


          當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，
          


          此時(shí)．
          


          故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．
          


           
          


          【解析】略
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          （08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).
             （1）求雙曲線C的方程；
             （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么曲線。
             （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.
          

			
          

			
          
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