Question

（文）若點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

4

+y2=1的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，滿(mǎn)足∠F₁PF₂=90°，則△F₁PF₂的面積為（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．4

Answer 1

分析：由橢圓方程

x2

4

+y2=1⇒點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）；又∠F₁PF₂=90°，故點(diǎn)P也在以原點(diǎn)為圓心，

3

為半徑的圓x²+y²=3上，兩曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，△F₁PF₂的面積可求．

解答：解：由橢圓方程

x2

4

+y2=1得焦點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），設(shè)P（x₀，y₀）
∵∠F₁PF₂=90°，
∴點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，

3

為半徑的圓x²+y²=3上，
由

x2+y2=3 x2 4 +y2=1

解得y²=

1

3

，即|y₀|=

3

3

，
∴S△F2P F1 =

1

2

|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

•2

3

•

3

3

=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，關(guān)鍵在于對(duì)題意的理解與方法的選擇，除上邊的方程組法，也可以設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=2a-x，在直角△F₁PF₂中求得x，再求其面積，也可以用向量法解決，屬于中檔題．