Question

【題目】設(shè) .

（1）若直線與和和圖象均相切，求直線的方程；

（2）是否存在使得按某種順序組成等差數(shù)列？若存在，這樣的有幾個(gè)？若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，有且只有一個(gè).

【解析】試題分析：（1）設(shè)切線為，代入中化簡得，則，設(shè)切點(diǎn)，則切線為： ，然后可求出，進(jìn)而求出直線的方程；（2）由（1）可知， 與的圖象分居直線的上下兩側(cè)，則，故而，結(jié)合題設(shè)條件，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)切線為，代入中化簡得，則

設(shè)與的切點(diǎn)為，則切線為：

整理得

∴，

∴

∴，則，

∴直線的方程為

（2）由（1）可知， 與的圖象分居直線的上下兩側(cè)，則

∴

假設(shè)存在，使得按某種順序組成等差數(shù)列，則必有， ， 成等差數(shù)列，即

設(shè)，則

∴在上單調(diào)遞增

∵，

∴有且僅有一個(gè)，使得成立

∴存在，使得按某種順序組成等差數(shù)列，并且這樣的有且僅有1個(gè)