Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

(n∈N*)，則a₂₀₁₀的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題中條件，不妨令f（x）=(

1

2

)x，從而求得a₁=f（0）=1，再由 f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，再由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．

解答：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=(

1

2

)x，（其中x∈R）；則a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)2+an，∴a_n+1=a_n+2；
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．
故答案為：4019．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，本題中的條件滿足底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)，不妨用特殊值法來(lái)解答，可以提高解題效率．