Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R),且f(1) =-,a＞2c＞b.

(1)判斷a、b的符號(hào);

(2)證明f(x)=0至少有一實(shí)根在區(qū)間(0,2)內(nèi);

(3)求函數(shù)y=f(x)圖象被x軸所截弦長的范圍.

Answer 1

(1)解析:∵f(1)=- ,?

∴3a+2b+2c=0.①?

又∵a＞2c＞b,∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a,3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b,?

結(jié)合①得a＞0且b＜0.?

(2)證明:由①得b=- a-c,?

∴f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c.?

1°當(dāng)c≤0時(shí),∵a＞0,?

∴f(1)=-＜0且f(2)=a-c＞0.?

∴f(x)=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.?

2°當(dāng)c＞0時(shí),∵a＞0,∴f(0)=c＞0且f(1)=- ＜0.?

∴f(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.?

綜合1°和2°,得f(x)=0在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.?

(3)解析:由①得2c=-3a-2b,?

∵a＞2c＞b,?

∴a＞-3a-2b＞b.?

∵a＞0,∴1＞-3-2· ＞.?

∴-2＜＜-1.②?

設(shè)方程f(x)=0的兩根為x₁、x₂,?

則x₁+x₂=-,③?

x₁x₂= =- -,④?

由②得 ＜|x₁-x₂|＜,

即函數(shù)y=f(x)的圖象被x軸截得的弦長的取值范圍是(, ).