Question

已知函數(shù)f(x)=()^x，x∈[-1，1]，函數(shù)g(x)=f²(x)-2af(x)+3的最小值為h(a)。
（1）求h(a)；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，同時(shí)滿足以下條件：①m>n>3；②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]。若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閤∈[-1，1]，所以，
設(shè)，
則g(x)=φ(t)=t²-2at+3=(t-a)²+3-a²，
當(dāng)a＜時(shí)，；
當(dāng)≤a≤3時(shí)，h(a)=φ(a)=3-a²；
當(dāng)a＞3時(shí)，h(a)=φ(3)=12-6a；
所以，。
（2）因?yàn)閙＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)=12-6a，
因?yàn)閔(a)的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n²，m²]，且h(a)為減函數(shù)，
所以，兩式相減得6(m-n)=(m-n)(m+n)，
因?yàn)閙＞n，所以m-n≠0，得m+n=6，
但這與“m＞n＞3”矛盾，故滿足條件的實(shí)數(shù)m，n不存在。