Question

設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)在上的值域；
（2）證明對(duì)于每一個(gè)，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．

Answer 1

(1) ；（2）證明見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，為，當(dāng)且時(shí)，為．

解析試題分析：(1)由于可以看作為的二次函數(shù)，故可利用換元法借助二次函數(shù)知識(shí)求出值域；（2）這類(lèi)問(wèn)題的常用方法是證明在區(qū)間是單調(diào)的，且或者或，即可得證；本題中證時(shí)也可數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）要求的值，注意分類(lèi)討論，時(shí)直接得結(jié)論，那么求時(shí)，只要用分組求和即可，在時(shí)，中除第一項(xiàng)外是一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列的和，因此先求出
，同樣在求時(shí)用分組求和的方法可求得結(jié)論．
試題解析：（1），由 令，．
，在上單調(diào)遞增，在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/47/a/4xeno1.png" style="vertical-align:middle;" />．     4分
（2）對(duì)于，有，，從而，,,在上單調(diào)遞減, ,在上單調(diào)遞減．
又.
.      7分
當(dāng)時(shí)，
（注用數(shù)學(xué)歸納法證明相應(yīng)給分）
又，即對(duì)于任意自然數(shù)有
對(duì)于每一個(gè)，存在唯一的，使得      11分
（3）．
當(dāng)時(shí)，．
.      14分
當(dāng)且時(shí)，．
     18分
考點(diǎn)：(1)換元法與二次函數(shù)的值域；（2）函數(shù)的零點(diǎn)；（3）分類(lèi)討論與分組求和．