Question

已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B．記四邊形PACB的面積為f（P），當(dāng)P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，f（P）的取值范圍為

[2

2

，4

3

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接CD并延長(zhǎng)，與圓D分別交于M、N，由圓C與圓D的方程得出圓心C、D的坐標(biāo)，即各自的半徑r與R，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距|CD|的長(zhǎng)，當(dāng)P在N處時(shí)，四邊形ACBP面積最��；當(dāng)P在M處時(shí)，四邊形ACBP面積最大，分別求出即可得到f（P）的范圍．

解答：解：由題意得到圓心C（0，4），半徑r=1；圓心D（-4，1），半徑R=2，
∴|CD|=

(-4-0)2+(1-4)2

=5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
當(dāng)P位于圖形中的N位置時(shí)，四邊形ACBP面積最小，
過(guò)P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A、B，連接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得：AP=

32-12

=2

2

，
此時(shí)S_{四邊形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=2

2

；
當(dāng)P位于圖形中的M位置時(shí)，四邊形ACBP面積最大，
同理得到S_{四邊形ACBP}=4

3

，
綜上，f（P）的范圍為[2

2

，4

3

]．
故答案為：[2

2

，4

3

]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．