Question

f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定義域；
（2）問是否存在實數(shù)a、b，當(dāng)x∈（1，∞）時，f（x）的值域為（0，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 (

a

b

)x＞1，由此求得f（x）的定義域．
（2）令g（x）=a^x-b^x，可得 x∈（1，+∞）時，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，由①②求得a、b的值．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 (

a

b

)x＞1，∴x＞0．
∴f（x）的定義域為（0，+∞）．
（2）令g（x）=a^x-b^x，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）的值取到一切正數(shù)等價于x∈（1，+∞）時，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，
由①②得 a=

3

2

，b=

1

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．