Question

【題目】已知拋物線，焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn).

（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，求此時(shí)的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2.

【解析】

（1）拋物線，即，可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案；

（2）利用拋物線的定義把焦點(diǎn)的距離為轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為，即可求得答案；

（3）是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形即是，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，可以得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得以及的坐標(biāo)，代入是，即可求得答案.

（1）拋物線，

即

∴拋物線的焦點(diǎn)為

（2）∵拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，

（3）聯(lián)立方程消去

可得，

設(shè)

則①

是線段的中點(diǎn)，

,即

得

若存在實(shí)數(shù)，使是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則是

即

結(jié)合①化簡得

即

或 (舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足判別式大于0

存在實(shí)數(shù)，使是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．