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          已知四棱錐的三視圖和直觀圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．
          


          


          (1)求證：；
          


          (2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值. 
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          （1）參考解析；（2）；（3）
          


          【解析】
          


          試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過(guò)觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.
          


          （2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過(guò)證明平面平面.即可得到點(diǎn)E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點(diǎn)）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運(yùn)算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來(lái)求.
          


          （3）若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補(bǔ)齊為一個(gè)長(zhǎng)方體.外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).即可求結(jié)論.
          


          試題解析：（1）證明：由已知
          


          


          ,
          


          又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704081289065292/SYS201404170409146875814685_DA.files/image016.png">，

          


          (2)解法一：連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，由(1)知
          


          則，為與平面所成的角. 
          


          ,則
          


          法二：空間直角坐標(biāo)法，略.
          


          (3)解：以正方形為底面，為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，
          


          ,. 

          


          考點(diǎn)：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補(bǔ)思想.
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(diǎn)．
          （Ⅰ）求三棱錐C-PBD的體積；
          （Ⅱ）若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AE⊥PF；
          （Ⅲ）邊PC上是否存在一點(diǎn)M，使DM∥平面EAC，試說(shuō)明理由．
          精英家教網(wǎng)
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)（理）設(shè)6張卡片上分別寫有函數(shù)f1（x）=x、f2（x）=x2、f3（x）=x3、f4（x）=sinx、f5（x）=cosx和f6（x）=lg（|x|+1）．
          （Ⅰ）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)
          的概率；
          （Ⅱ）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
          （文）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
          （Ⅰ） 求四棱錐P-ABCD的體積；
          （Ⅱ） 是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知一幾何體的三視圖如圖，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇5個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的5個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
          ①③④
          ①③④
          ．（其中a≠b）
          ①每個(gè)側(cè)面都是直角三角形的四棱錐；
          ②正四棱錐；
          ③三個(gè)側(cè)面均為等腰三角形與三個(gè)側(cè)面均為直角三角形的兩個(gè)三棱錐的簡(jiǎn)單組合體
          ④有三個(gè)側(cè)面為直角三角形，另一個(gè)側(cè)面為等腰三角形的四棱錐．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀圖如圖：
          （1）求四棱錐P-ABCD的體積；
          （2）若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．
          （3）若F是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，證明：不論點(diǎn)F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．
          

			
          

			
          
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