Question

給出下列四個(gè)命題：
①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是“直線a、b不相交”．②“直線l⊥平面α內(nèi)的所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥α”．③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”．④設(shè)α⊥β，a?β，則“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”．其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：逐個(gè)分析：對(duì)于①根據(jù)異面直線的定義，得到是必要非充分條件，故①不正確；
對(duì)于②可由直線與平面垂直的定義得知它是真命題；
對(duì)于③可以根據(jù)三垂線定理來說明它是既不充分也不必要條件，故③不正確；
對(duì)于④，可以由直線與平面平行、垂直的相關(guān)定理和面面垂直的性質(zhì)，推出充分非必要條件成立．
解答：對(duì)于①，若“直線a、b為異面直線”必定有“直線a、b不相交”，
反過來，若“直線a、b不相交”則“直線a、b為異面直線或平行直線”，
因此應(yīng)該是必要非充分條件，故①不正確；
對(duì)應(yīng)②，線面垂直的定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的所有直線，
就稱這條直線與這個(gè)平面垂直．
根據(jù)這個(gè)定義可得“直線l⊥平面α內(nèi)的所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥α”，故②正確；
對(duì)于③，若“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”不一定推出“直線a⊥b”，因?yàn)閍不一定在平面α內(nèi)，
反之，若“直線a⊥b，且a在平面α內(nèi)”則必有“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”，但a仍然不一定在平面α內(nèi)，
說明是既不充分也不必要條件，故③不正確；
對(duì)于④，若“a⊥α”結(jié)合大前提“β⊥α”，說明“a∥β或a⊆β”成立，
而題意中有“a?β”，說明只有“a∥β”，由此得充分性成立．
反之，若“α⊥β，a?β”且“a∥β”有可能a平行于α、β的交線，不能得到“a⊥α”，沒有必要性
說明“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”成立，故④正確．
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間直線與直線、直線與平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．充分理解空間的直線與直線、直線與平面的有關(guān)定義和定理，是解決本題的關(guān)鍵．