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        1. 已知數(shù)列{an},{bn}滿足bn=an+1-an其中n=1,2,3,….
          (1)若bn=n且a1=1,求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2時
          ①求數(shù)列{bn}的前6n項和;
          ②判斷數(shù)列{
          ann
          }
          中任意一項的值是否會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次?若存在,求出a1滿足的條件,若不存在,并說明理由.
          分析:(1)利用疊加可得,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1
          可求an,
          (2)①由bn+1bn-1=bn(n≥2),可有bn+6=
          bn+5
          bn+4
          =
          1
          bn+3
          =
          bn+1
          bn+2
          =bn
          ,即數(shù)列{bn},周期為6,數(shù)列{bn}的前6項分別為1,2,2,1,
          1
          2
          1
          2
          ,且這六個數(shù)的和為7.從而可求前6n項的和
          ②解:設cn=a6n+i(n≥0),則可得,cn+1-cn=7(n≥0)即數(shù)列{a6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列,設fk=
          a6k+i
          6k+i
          =
          ai+7k
          i+6k
          =
          7
          6
          (i+6k)+ai-
          7i
          6
          i+6k
          =
          7
          6
          +
          ai-
          7i
          6
          i+6k

          ai=
          7i
          6
            有
          an
          n
          =
          7
          6
          ; 當ai
          7i
          6
          時 (i)若ai
          7i
          6
          ,可得fk+1<fk,即數(shù)列{
          a6k+i
          6k+i
          }
          為單調(diào)減數(shù)列;(ii)若ai
          7i
          6
          ,則有fk+1>fk,即數(shù)列{
          a6k+i
          6k+i
          }
          為單調(diào)增數(shù)列;設集合B={
          7
          6
          ,
          4
          3
          ,
          1
          2
          ,-
          1
          3
          ,-
          1
          6
          }
          ,通過檢驗a1與B的關系來判定
          解答:解:(1)當n≥2時,有an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1…(3分)
          =1+
          (n-1)×n
          2
          =
          n2
          2
          -
          n
          2
          +1
          .…(4分)
          又因為a1=1也滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項為an=
          n2
          2
          -
          n
          2
          +1
          .…(5分)
          (2-①)解:因為bn+1bn-1=bn(n≥2),
          所以,對任意的n∈N*bn+6=
          bn+5
          bn+4
          =
          1
          bn+3
          =
          bn+1
          bn+2
          =bn

          即數(shù)列{bn}各項的值重復出現(xiàn),周期為6.…(8分)
          又數(shù)列{bn}的前6項分別為1,2,2,1,
          1
          2
          ,
          1
          2
          ,且這六個數(shù)的和為7.
          設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,則,S6n=7n; …(11分)
          ②解:設cn=a6n+i(n≥0),(其中i為常數(shù)且i∈{1,2,3,4,5,6}),所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7(n≥0)
          所以數(shù)列{a6n+i}均為以7為公差的等差數(shù)列.…(13分)
          fk=
          a6k+i
          6k+i
          =
          ai+7k
          i+6k
          =
          7
          6
          (i+6k)+ai-
          7i
          6
          i+6k
          =
          7
          6
          +
          ai-
          7i
          6
          i+6k
          ,
          (其中n=6k+i(k≥0),i為{1,2,3,4,5,6}中的一個常數(shù)),
          ai=
          7i
          6
          時,對任意的n=6k+i有
          an
          n
          =
          7
          6
          ;                 …(15分)
          ai
          7i
          6
          時,fk+1-fk=
          ai-
          7i
          6
          6(k+1)+i
          -
          ai-
          7i
          6
          6k+i
          =(ai-
          7i
          6
          )(
          1
          6(k+1)+i
          -
          1
          6k+i
          )

          =(ai-
          7i
          6
          )(
          -6
          [6(k+1)+i](6k+i)
          )

          (i)若ai
          7i
          6
          ,則對任意的k∈N有fk+1<fk,所以數(shù)列{
          a6k+i
          6k+i
          }
          為單調(diào)減數(shù)列;
          (ii)若ai
          7i
          6
          ,則對任意的k∈N有fk+1>fk,所以數(shù)列{
          a6k+i
          6k+i
          }
          為單調(diào)增數(shù)列;
          綜上:設集合B={
          7
          6
          }∪{
          4
          3
          }∪{
          1
          2
          }∪{-
          1
          3
          }∪{-
          1
          6
          }∪{
          1
          2
          }
          ={
          7
          6
          ,
          4
          3
          1
          2
          ,-
          1
          3
          ,-
          1
          6
          }
          ,
          當a1∈B時,數(shù)列{
          an
          n
          }
          中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次.
          當a1∉B時,{
          a6k+i
          6k+i
          }
          (i=1,2,3,4,5,6)均為單調(diào)數(shù)列,任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次,所以數(shù)列{
          an
          n
          }
          中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次.…(18分)
          點評:本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式,數(shù)列單調(diào)性及數(shù)列的周期性的綜合應用,試題的綜合性較強,基本運算的量較大.
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1<0,
          an+1
          an
          =
          1
          2
          ,則數(shù)列{an}是( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),
          (I)若bn=
          ann
          +1
          ,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
          (II)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•順義區(qū)二模)已知數(shù)列{an}中,an=-4n+5,等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,則|b1|+|b2|+…+|bn|=( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2
          an=
          5
                n=1
          2n+2
              n≥2

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n,那么它的通項公式為an=
          2n
          2n

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