Question

【題目】已知多面體如圖所示，底面為矩形，其中平面， ．若， ， 分別是， ， 的中點，其中．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求的長．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)和直線平行的結(jié)論可得．

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由平面向量的法向量和二面角的余弦值可求得的長為.

試題解析：

（Ⅰ）證明：取的中點，連接， ，

因為是正方形，所以 ， ；

因為分別是, 的中點，所以 , ；

又因為 且，所以 ， ，

所以四邊形是平行四邊形, 所以 .

因為 平面，

又故，故．

（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)（），則．

因為⊥底面，所以平面的一個法向量為.

設(shè)平面SRB的一個法向量為，

， ，則 即

令x=1，得，所以，

由已知，二面角的余弦值為，

所以得 ，解得a =2，所以SD=2．