Question

如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，.

（1）證明:：；
（2）證明：；
（3）若，且平面平面，求三棱錐體積.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）先證明，從而得到；（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，利用直線與平面垂直的性質(zhì)得到；（3）作，垂足為，連結(jié)，結(jié)合（2）中的結(jié)論證明平面，再求出的面積，最后利用分割法得到三棱錐的體積來(lái)進(jìn)行計(jì)算.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042039350516.png" style="vertical-align:middle;" />是等邊三角形，，
所以，可得；
（2）如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，，
所以平面，所以；

（3）作，垂足為，連結(jié)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042039849792.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
由已知，平面平面，故，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042040176831.png" style="vertical-align:middle;" />，所以、、都是等腰直角三角形.
由已知，得，的面積，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042039740413.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以三棱錐的體積.