Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）．

（1）證明：；

（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；

（3）證明：（）．

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，，再證對(duì)任意正整數(shù)，

．

即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立，以下可以數(shù)學(xué)歸納法證明。

【解析】                                                        

試題分析：（1）設(shè)，所以

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，…2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040718053984374012/SYS201304071806379687375574_DA.files/image017.png">，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均有 ．即，

所以

（2）當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時(shí)，由（1）知。

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，

令，，

因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，

由歸納假設(shè)知，．

即在上為增函數(shù)，亦即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040718053984374012/SYS201304071806379687375574_DA.files/image036.png">，所以．從而對(duì)任意，有．

即對(duì)任意，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．

（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．

由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．

再證對(duì)任意正整數(shù)，

．

要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．

即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立

以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040718053984374012/SYS201304071806379687375574_DA.files/image048.png"> 

所以．

這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，成立 。

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．題目較難，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，我們?cè)谧鲱}時(shí)，能得滿分就得滿分，不能得滿分的盡量多得步驟分。