Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（II）根據(jù)）若對(duì)任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，并且有

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=(2-a)-

2

x

，(x＞0)，
∴（1）當(dāng)2-a≤0即a≥2時(shí)f'（x）＜0恒成立．
（2）當(dāng)2-a＞0即a＜2時(shí)，由f'（x）＜0，得0＜x＜

2

2-a

；
由f'（x）＞0，得x＞

2

2-a

．
因此：當(dāng)a≥2時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(0，

2

2-a

)，單調(diào)增區(qū)間是(

2

2-a

，+∞)
（II）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．
由（Ⅰ）知當(dāng)a≥2時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，不合題意，
∴a＜2，并且0＜

2

2-a

＜e，即a＜2-

2

e

①
∵x→0時(shí)f（x）→+∞，故對(duì)任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x₀）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，
注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2-a）（e-1）-2≥1，即a≤2-

3

e-1

②
由①②知，所求的a得取值范圍是(-∞，2-

3

e-1

]

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，和求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合以及題意的理解與轉(zhuǎn)化的思想．特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置，考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問(wèn)題的能力．