Question

如圖，曲線C₁，C₂都是以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心、離心率均為e的橢圓．線段MN是C₁的短軸，是C₂的長(zhǎng)軸，其中M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），直線l：y=m，（0＜m＜1）與C₁交于A，D兩點(diǎn)，與C₂交于B，C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若m=

3

2

，AC=

5

4

，求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，由C₁，C₂的離心率相同，可建立關(guān)于a，b的方程，結(jié)合|AC|=

5

4

，建立關(guān)系式求出a、b之值，進(jìn)而可得橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）由OB∥AN得k_OB=k_AN，由此建立m，a的關(guān)系式，代入化簡(jiǎn)并用橢圓離心率表示a，進(jìn)而可得由離心率e表示m的式子，利用m的范圍解關(guān)于e的不等式，可得離心率e的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，
其中a＞1，0＜b＜1
∵C₁，C₂的離心率相同，所以

a2-1

a2

=1-b²，解之得ab=1，
∴C₂的方程為a²x²+y²=1．
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，A（-

1

2

a，

3

2

），C（

1

2a

，

3

2

）
又∵|AC|=

5

4

，∴

1

2a

-（-

1

2

a）=

5

4

，
解之得a=

1

2

（不符合題意，舍去）或a=2，從而得到b=

1

a

=

1

2

∴C₁、C₂的方程分別為

x2

4

+y2=1、4x²+y²=1．
（Ⅱ）A（-a

1-m2

，m），B（-

1

a

1-m2

，m）．
∵OB∥AN，∴k_OB=k_AN，可得

m

- 1 a 1-m2

=

m+1

-a 1-m2

，解之得m=

1

a2-1

∵e²=

a2-1

a2

，得a²=

1

e2-1

，可得m=

1-e2

e2

．
∵0＜m＜1，∴得0＜

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，及橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．解答本題要求考生具備綜合運(yùn)用數(shù)字知識(shí)的能力．