Question

（2009•武漢模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=a2=a3=k，an+1=

k+anan-1

an-2

(n≥3，n∈N*)其中k＞0，數(shù)列{b_n}滿足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)，如果不存在，說(shuō)明理由，如果存在，求出所有的k．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a6=k+4+

2

k

．根據(jù)數(shù)列{b_n}滿足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)，從而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由條件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．類(lèi)似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，兩式相減整理得b_n=b_n-2，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)則由（2）可知：

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 2k+1 k a2n+1-a2n

…③
由a1=k∈Z，a6=k+4+

2

k

∈Z可求得k=1，2．只需證明 k=1，2時(shí)，滿足題意．

解答：解：（1）經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a6=k+4+

2

k

．
求得b1=b3=2，b2=b4=

2k+1

k

．…（4分）
（2）由條件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
類(lèi)似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有：

an+an+2

an+1

=

an-2+an

an-1

即：b_n=b_n-2
∴b2n-1=b2n-3=…=b1=

a1+a3

a2

=2
，b2n=b2n-2=…=b2=

a2+a4

a3

=

2k+1

k

所以：bn=

4k+1

2k

+

(-1)n

2k

．…（8分）
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)
則由（2）可知：

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 2k+1 k a2n+1-a2n

…③
由a1=k∈Z，a6=k+4+

2

k

∈Z可知k=1，2．
當(dāng)k=1時(shí)，

2k+1

k

=3為整數(shù)，利用a₁，a₂，a₃∈Z，結(jié)合③式，反復(fù)遞推，可知{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)
當(dāng)k=2時(shí)，③變?yōu)?span id="gnfpyqd" class="MathJye">

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 5 2 a2n+1-a2n

…④
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)
n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，這時(shí)a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)，故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1為偶數(shù)，a_2n+2為整數(shù)，所以n=k+1時(shí)，命題成立．
故數(shù)列{a_n}是整數(shù)列．
綜上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．